咖啡要凉多久？

牛顿冷却定律，一杯的分量

2026-10-02约 1 分钟#微积分 #常微分方程

刚冲好的手冲大约 $90^\circ\mathrm{C}$ ，而我喜欢在 $60^\circ\mathrm{C}$ 左右喝。问题很朴素：到底要等多久？1实际上我通常等不及，舌头为此付出过不少代价。

一个过于简单的模型

牛顿给过一个很好用的经验法则：物体冷却的速度，和它与环境之间的温差成正比。写成方程就是

\frac{dT}{dt} = -k\,\bigl(T - T_{\text{room}}\bigr).

这里 $T_{\text{room}}$ 是室温， $k>0$ 是一个常数。2它和杯子关系很大。陶瓷杯、纸杯、保温杯的 $k$ 能差出一个数量级，保温杯的 $k$ 小到让人怀疑人生。负号的意思是：咖啡比室温热，温度就往下掉；温差越大，掉得越快。

定义 1（冷却常数）

称上式中的 $k$ 为冷却常数，单位是 $\text{min}^{-1}$ 。它把杯子、桌面、空气流动等一切我们懒得建模的东西打包在一起。

解出来

引理 2（冷却曲线）

若 $T(t)$ 满足上面的方程，且 $T(0)=T_0$ ，则对一切 $t\ge 0$ ，

T(t) = T_{\text{room}} + \bigl(T_0 - T_{\text{room}}\bigr)\,e^{-kt}.

证明令 $u = T - T_{\text{room}}$ ，则 $u' = -ku$ 。于是 $\bigl(u\,e^{kt}\bigr)' = (u' + ku)\,e^{kt} = 0$ ，所以 $u\,e^{kt}$ 是常数，等于它在 $t=0$ 时的值 $T_0 - T_{\text{room}}$ 。

也就是说，温差按指数衰减。下面这张图里，拖动 5 分钟处的测量点，感受一下不同杯子的差别：

图 1　室温 22°C，初温 90°C。虚线是理想的入口温度。

算一算我的那杯

我用温度计量过一次：室温 $22^\circ\mathrm{C}$ ，冲好时 $90^\circ\mathrm{C}$ ，5 分钟后是 $75^\circ\mathrm{C}$ 。代入引理 2：

e^{-5k} = \frac{75-22}{90-22} = \frac{53}{68} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{5}\ln\frac{68}{53} \approx 0.0498.

再解 $T(t) = 60$ ：

t = \frac{1}{k}\ln\frac{68}{38} \approx 11.7\ \text{min}.

所以答案是：大约 11 分 40 秒。刚好够我回两封邮件，或者盯着杯子发呆。

from math import log

k = log(68 / 53) / 5   # 冷却常数，单位 1/min
t = log(68 / 38) / k
print(f"{t:.1f} min")  # 11.7 min

附赠：牛奶什么时候加？

假设你要等 10 分钟再喝，还要加一勺冷牛奶。是现在加，还是 10 分钟后再加？

推论 3

如果目标是让咖啡尽量凉，应当最后再加牛奶。

直觉是：热的时候温差大，散热快；先加奶会让咖啡一开始就“不够热”，白白浪费了散热最快的那段时间。严格的证明留作习题。3“留作习题”是数学家最古老的偷懒方式，我决定把这个传统发扬光大。