咖啡要涼多久？

牛頓冷卻定律，一杯的分量

2026-10-02約 1 分鐘#微積分 #常微分方程

剛沖好的手沖大約 $90^\circ\mathrm{C}$ ，而我喜歡在 $60^\circ\mathrm{C}$ 左右喝。問題很樸素：到底要等多久？1實際上我通常等不及，舌頭為此付出過不少代價。

一個過於簡單的模型

牛頓給過一個很好用的經驗法則：物體冷卻的速度，和它與環境之間的溫差成正比。寫成方程就是

\frac{dT}{dt} = -k\,\bigl(T - T_{\text{room}}\bigr).

這裡 $T_{\text{room}}$ 是室溫， $k>0$ 是一個常數。2它和杯子關係很大。陶瓷杯、紙杯、保溫杯的 $k$ 能差出一個數量級，保溫杯的 $k$ 小到讓人懷疑人生。負號的意思是：咖啡比室溫熱，溫度就往下掉；溫差越大，掉得越快。

定義 1（冷卻常數）

稱上式中的 $k$ 為冷卻常數，單位是 $\text{min}^{-1}$ 。它把杯子、桌面、空氣流動等一切我們懶得建模的東西打包在一起。

解出來

引理 2（冷卻曲線）

若 $T(t)$ 滿足上面的方程，且 $T(0)=T_0$ ，則對一切 $t\ge 0$ ，

T(t) = T_{\text{room}} + \bigl(T_0 - T_{\text{room}}\bigr)\,e^{-kt}.

證明令 $u = T - T_{\text{room}}$ ，則 $u' = -ku$ 。於是 $\bigl(u\,e^{kt}\bigr)' = (u' + ku)\,e^{kt} = 0$ ，所以 $u\,e^{kt}$ 是常數，等於它在 $t=0$ 時的值 $T_0 - T_{\text{room}}$ 。

也就是說，溫差按指數衰減。下面這張圖裡，拖動 5 分鐘處的測量點，感受一下不同杯子的差別：

圖 1　室溫 22°C，初溫 90°C。虛線是理想的入口溫度。

算一算我的那杯

我用溫度計量過一次：室溫 $22^\circ\mathrm{C}$ ，沖好時 $90^\circ\mathrm{C}$ ，5 分鐘後是 $75^\circ\mathrm{C}$ 。代入引理 2：

e^{-5k} = \frac{75-22}{90-22} = \frac{53}{68} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{5}\ln\frac{68}{53} \approx 0.0498.

再解 $T(t) = 60$ ：

t = \frac{1}{k}\ln\frac{68}{38} \approx 11.7\ \text{min}.

所以答案是：大約 11 分 40 秒。剛好夠我回兩封郵件，或者盯著杯子發呆。

from math import log

k = log(68 / 53) / 5   # 冷卻常數，單位 1/min
t = log(68 / 38) / k
print(f"{t:.1f} min")  # 11.7 min

附贈：牛奶什麼時候加？

假設你要等 10 分鐘再喝，還要加一勺冷牛奶。是現在加，還是 10 分鐘後再加？

推論 3

如果目標是讓咖啡儘量涼，應當最後再加牛奶。

直覺是：熱的時候溫差大，散熱快；先加奶會讓咖啡一開始就“不夠熱”，白白浪費了散熱最快的那段時間。嚴格的證明留作習題。3“留作習題”是數學家最古老的偷懶方式，我決定把這個傳統發揚光大。